Ejercicio 1. 

En un aula hay un cierto numero de alumnos que hemos de determinar. se sabe que cada uno de los alumnos presentes en el aula estudia, al menos, una de las tres asignaturas siguientes: Matemáticas, Física, Química. pues bien, en sucesivas veces se pide que levanten la mano los que estudian:

A)Matemáticas, y lo hacen 48.
B)Física, y lo hacen 45.
C)Química, y lo hacen 49.
D)Matemáticas y Física, y lo hacen 28.
E)Matemáticas y Química, y lo hacen 26.
F)Física y Química, y lo hacen 28.
G)Las tres asignaturas, y lo hacen 18

Se pregunta:
     1º)¿Cuantos alumnos hay en el aula?
     2º)¿Cuantos estudian Matemáticas y Física, pero no Química?
     3º)¿Cuantos estudian nada mas que Química?


                Soluciones:
1º)

n( M + F + Q ) = n(M) + n(F) + n(Q) - n(MF) - n(MQ) - n(FQ) + n(MFQ)
n( M + F + Q ) = 48 + 45 + 49 - 28 -26 - 28 + 18
n( M + F + Q ) = 78

                            Así pues, en el aula hay 78 estudiantes.

2º) Hagamos un gráfico y utilicemos un circulo para representar cada uno de los conjuntos que hay en el problema. Quizá, con círculos, se vean mejor las diversas regiones que hay en el dibujo.

3º) Hay 10 alumnos  que estudian Matemáticas y Física, pero no estudian Química.

Ejercicio 2. 

Una empresa de la industria de automóvil requiere 22 titulados en ingeniero superior para trabajar en ella. Los aspirantes han de ser: Ingenieros Mecánicos, Ingenieros Eléctricos o Ingenieros Químicos. Los Ingenieros Mecánicos han de ser 11, los Ingenieros Eléctricos  han de ser 12, los Ingenieros Químicos han de ser 10. Ahora bien, algunos puestos deben ser ocupados por Ingenieros con doble titulación, en concreto 5 han de ser Ingenieros Mecánicos y Eléctricos, 4 han de ser Ingenieros Mecánicos y Químicos, y 4 han de ser Ingenieros Eléctricos y Químicos. También quiere la empresa, para áreas muy concretas, que haya Ingenieros con triple titulación.

Se pregunta:

A)¿ Cuantos Ingenieros que poseen los tres títulos necesita la empresa?
B)¿ Cuantos puestos de trabajo esta ofertando la empresa para aquellos que únicamente están titulados en la Ingeniería Eléctrica?
C)¿ Cuantos puestos de para los Ingenieros Eléctricos y Químicos pero no son Ingenieros Mecánicos?



                Soluciones:
A)
n( M + E + Q ) = n(M) + n(E) + n(Q) - n(M·E) - n(M·Q) - n(E·Q) + n(M·E·Q)
n( M + E + Q ) = 11 + 12 + 10 - 5 - 4 - 4 + n(M·E·Q)
                   22 = 11 + 12 + 10 - 5 - 4 - 4 + n(M·E·Q)
                   22 = 20 + n(M·E·Q)

Luego,  n(M·E·Q) = 22 - 20 , es decir, n(M·E·Q) = 2. por tanto hay 2 puestos reservados para la triple titulación.

B) Hay 5 puestos para los que únicamente están titulados en Ingeniería Eléctrica.

C) Hay 2 puestos para los que son Eléctricos y Químicos pero no Mecánicos.

Ejercicio 3. 

Se presenta 44 solicitudes para cubrir los puestos que ofrece la empresa que se cita en el anterior problema. De entre los solicitantes, hay 29 Ingenieros Mecánicos, 19 Ingenieros Químicos, 6 Ingenieros Mecánicos y Eléctricos, 8 Ingenieros Químicos y Eléctricos, 9 Ingenieros Mecánicos y Químicos, y 1 que tiene triple titulación, es decir,  hay uno que es Ingenieros y también Ingeniero Eléctrico y también Ingeniero Químicos.

Se pregunta:
A)¿ Cuantos Ingenieros Eléctricos han presentado solicitud?
B) Expresese con una tabla el numero de Ingenieros que entran en la empresa y los que no entran.


                Soluciones:

A)
44 = 29 + 19 + E - 6 - 8 - 9 + 1  → E = 18

Se presentaron 18 Ingenieros Electricos

B)

Ejercicio 4. 

De 1000 lectores enuestados se obtiene la siguiente información:

391 leen Drama
230 leen comedia
545 leen romance
98 leen drama y comedia
152 leen comedia y romance
88 leen drama y romance
90 no leen

Se pregunta
1°)cuantos entrevistados leen los 3 tipos de libros?
2°)cuantos entrevistados leen solo uno tipo de libro?

Solución

1°)
n(D + C + R) = n(D) + n(C) + n(R) - n(CR) - n(DR) + n(DR)
n(D + C + R) = 1000 - 90    = 910

910 = 391 + 230 + 545 - 98 - 152 - 88 + n(DCR)
910 = 828 + n(DCR)

luego, n(DCR)= 82, es decir, 82 personas leen los tres tipos de libros.


2°)Realizamos el diagrama de venn para ayudar a resolverlo

se realiza una suma logica de 287 + 62 + 387 = 736

Ejercicio 5.

Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5
II) Motocicleta: 38
III) No gustan del automóvil: 9
IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3
V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20
VI) No gustan de la bicicleta: 72
VII) Ninguna de las tres cosas: 1
VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1.     ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

2.     ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?

3.     ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

4.     ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?

5.     ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

a.     A 99 personas.

b.     A ninguna.

c.      A 46 personas.

d.     A 10 personas.

e.      a 14 personas.

Ejercicio 6.

Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405

televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y

televisor.

a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?

c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?

Solución

η (C ∩ T ∩ A) = 105

los diferentes pares de conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación:

η (C ∩ T) = 190 - η (C ∩ T ∩ A) = 190 – 105 = 85

η (C ∩ A) = 120 - η (C ∩ T ∩ A) = 120 – 105 = 15

η (A ∩ T) = 165 - η (C ∩ T ∩ A) = 165 – 105 = 60

η (C) = 277

η (C) = x + η (C ∩ A ∩ T) + η (C ∩ A) + η (C ∩ T) 

 277 = x + 15 +105 + 85, de donde

 x = 72

Siguiendo el anterior raciocinio se llega a:

a. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos el cardinal de la unión de los tres conjuntos:

 η (C ∪ A ∪ T) = η (C)+η (A)+η (T)-η (C ∩ A)-η (C ∩ T)-η (A ∩ T)+η (C ∩ A ∩ T)

 η (C ∪ A ∪ T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105

 η (C ∪ A ∪ T) = 545

b. La región sombreada representa el número de personas que tienen solamente tienen casa propia, es decir, 72

 

c. La región sombreada en la siguiente figura corresponde al número de personas que solamente tienen casa y televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de:

η (C ∪ T) = η (C) + η (T) - η (C ∩ T)

η (C ∩ T) = η (C) + η (T) - η (C ∪ T)

η (C ∪ T) = 277 + 405 – 492

η (C ∪ T) = 190